Эволюта
Эволю́та плоской кривой — геометрическое место точек, являющихся центрами кривизны кривой.
По отношению к своей эволюте любая кривая является эвольвентой.
Уравнения
Если линия задана параметрическими уравнениями [math]\displaystyle{ X = x(t), \ Y = y(t) }[/math], то её эволюта имеет уравнение:
- [math]\displaystyle{ X = x(t) - y'\frac{x'^2 + y'^2}{x'y'' - x''y'}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ Y = y(t) + x'\frac{x'^2 + y'^2}{x'y'' - x''y'} }[/math]
В частности, если [math]\displaystyle{ t }[/math] является натуральным параметром кривой [math]\displaystyle{ \vec{r}(t) }[/math], то её эволюта может быть задана[1] уравнением:
- [math]\displaystyle{ \vec{r}(t) + \frac{1}{k(t)} \vec{n}(t) }[/math],
где [math]\displaystyle{ \vec{n} }[/math] — единичный вектор нормали кривой, направленный в сторону центра кривизны, [math]\displaystyle{ k }[/math] — кривизна.
Примеры
- Вытянутая астроида
- :[math]\displaystyle{ x = \frac{a^2-b^2}{a}\cos^3 t, \quad y = \frac{b^2-a^2}{b}\sin^3 t }[/math]
- является эволютой эллипса
- [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 }[/math].
- Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
- Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной и параллельно сдвинутой от исходной так, что вершины переходят в её каспы. Эти свойства открыты Христианом Гюйгенсом; они были им использованы при создании точных механических часов, собственная частота маятника в которых не зависит от амплитуды колебаний.
См. также
Примечания
- ↑ Эволюта — статья из Математической энциклопедии. Д. Д. Соколов
Литература
- Д. А. Граве. Дифференциальное исчисление // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- В. Бляшке. Диференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна / М. Я. Выгодский (перевод с немецкого). — М.: ОНТИ, 1935. — 331 с.
 |